大考倒计时！AP微积分有哪些考试长拳？（内附复习笔记）

eor Diverge参数相似，节录意与法律条文则三区分。

8️⃣法律条文则八：The limit Comparison Test （临界点相当举论法律条文）

此法律条文则与The Comparison Test完全相同,也称相当举论法律条文的临界点形式。

设置两个时是项平方根，(除此以外大于0)

1. If = L, 0 < L < , then both converge or diverge.

2. If = 0, and n converges, then

3. If = , and then diverges.

当用到比如说的Comparison Test时，推测找 对比平方根时看似 不便，可以为了让用到The limit Comparison Test。

真的真的法律条文则不算多还是不不算容易记住，那就看这个思维导示意图吧。

🎯BonusPart: Absolute Convergence and Conditional Convergence (毕竟收毋和必要条件收毋)

Convergence (收毋)分为 毕竟和 必要条件，好像有一点点麻烦呢，却是概念定理可非常容易表达出来，对于任意项平方根，如果其乘积平方根converge （收毋），那么此平方根必定converge （收毋），统称Absolute Convergence (毕竟收毋)。

但如果其乘积平方根diverge （切线），但是原平方根收毋，则原平方根统称Conditional Convergence (必要条件收毋)。

综上所述，上述文本我们也可以用算术语言来隐含：

For ,if converges, so is Absolute Convergence.

For,if diverges, but sois Conditional Convergence.

例题重构

Problem1

Use the nth Term Test

💎Solution: 根据nth Term Test概念，当此平方根的n值渐趋时是无穷且比值不为零时，平方根切线。所以我们除此以外能够求此平方根当n渐趋时是无穷时的比值。

From the definition, =,so this series is divergent by the nth Term Test.

Problem2

Use the Comparison Test

💎SolutionA: 这种类型的选择题显然乍一看看不出来，那就除此以外能够逐步破译，一般正整数处单次较高时，我们原则上顾虑用到Comparison Test。

如题，正整数处三高单次为4，所以我们对比平方根可以设置为,至此，观察正上方水分子处，还有一次的n，所以整个分数的单次可举论为3，可以举论平方根与选择题平方根透过辨识。

💣节录:Harmonic Series and P-series可以用该点心灵法律条文，p>1时，平方根converge。

由正上方的心灵shortcut一心到，比“严肃”的平方根更为严肃的平方根，必定也“严肃”，所以本题。

💎SolutionB: 用到比如说的Comparison Test显然极易相当，此时我们可以为了让用到The limit comparison Test （此法律条文则通常适用于当Comparison Test难以找到辨识series时）

观察平方根水分子正整数，水分子三高次为1，正整数三高次为4，整项单次便可为3， 所以原series可以同透过相当。

根据limit comparison test定理可，limit值大于0时，两个平方根拥有同样的毋散性，并且已知p-seriesconverge （收毋）（p>1）。

Since the limit value is 2, so both series diverge or converge.

Problem3

Use the Ratio Test

一般对于有factorial （阶乘）的选择题，通常用到Ratio Test

所以.

Therefore,

Problem4

Use the Integral Test

确保series可以用到integral test，要明确这个series是PCD (Positive, Continuous, Decreasing)

💎Solution:

By using the L’Hospital’s Rule, the integral has an exact value, so the series is convergent.

(在求反导的操作过程当中用到integration by parts)

Problem5

Use the Alternating Series Test

💎Solution：当AP科目当中节录意到(-1) n 完全相同形式的Series时，我们原则上顾虑用到AST (Alternating Series Test), 其次用到Ratio Test。

若用到AST验实有Series Converges （平方根收毋），除此以外需充分利用以下两个必要条件：

1. a n+1 ＜a n , for all n

2. n = 0

Since=0 ,取而代之的平方根converge得实有。

Problem6

If it is convergent, determine it is absolute convergent or conditional divergent.

💎Solution：这个平方根融合了Alternating Series （平行平方根）和sin给定，看起来较复杂，为了说明此平方根为Absolute Convergence or Conditional Convergence,首先明确其乘积的毋散性，故平方根

的乘积为 2 n sin ,观察乘积后来的series不存在sin给定，由此我们联一心到sin给定示意图像最大值为1，所以可以得到2 n sin =

由Geometric Series （几何平方根）定理可由此可知，当r<1时，平方根

converge （收毋）

至此，由comparison test由此可知，当一个series比此series更为“严肃”时，那个series必定“严肃”，所以。

因为此平方根是的乘积，根据定理可由此可知，当平方根的乘积converge(收毋)时，原平方根是Absolute Convergence.

Bonus Question

If it is convergent,determine it is absolute convergence or conditional convergence.

💎Solution：真的有那么一点点傻眼 （学神忽略），不要紧的，跟着解题步骤一步一步往后举，对于说明Absolute Convergence（ 毕竟收毋），还是Conditional Convergence （必要条件收毋）的选择题，首先取选择题当中series的乘积。

那么平方根是 converge还是di verge呢，我们可以用到comparison test，节录意到是Harmonic series,which is divergent.

由心灵shortcut由此可知，比“高调”的更为高调的，必定“高调”。所以平方根（切线）。

至此，我们除此以外能够判定Alternating Series 是convergent还是divergent，便一心到用到AST （Alternating Series Test），记得必要条件：

1. a n+1 ＜a n , for all n

2. n = 0

看到这里问题又来了，平方根 是分数，如何相当“a n+1 ＜a n ”的大小呢，此处除此以外能够动一动聪明的小居然，a n+1 ＜a n 不可，何尝不试试验实有 ,所以[(n+1)- ( ]- (n - )= 1 - > 0 (ln给定最大值小于1)，所以实有得 ,所以a n+1 ＜a n ，且 ，所以根据AST，平方根 ，又因为此平方根的乘积Diverge （切线），所以 是 Conditional Convergenct（必要条件收毋）。

再次的阐释

本期的AP Calculus BC干货文稿阐释了再次一引言当中最众所周知的毋散性举论法律条文，我们对考场当中的每种法律条文则透过了阐释说明了并配上shortcut，在例题大部分深入分析，朋友们只要牢记习思维导示意图和大部分法律条文则的心灵Shortcut，在AP微平方根BC科目当中，碰到Series毋散举论的选择题一定可以手到擒来。

在复习Unit10 Test Methods for Convergence and Divergence时，节录意分清每种法律条文则不要误读，AP5分不是梦～

文 | Herbert Sun

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